Question

已知橢圓的左右焦點分別為F₁（-2，0），F₂（2，0）．在橢圓M中有一內接三角形ABC，其頂點C的坐標，AB所在直線的斜率為．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）當△ABC的面積最大時，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓的定義知．解出a的值，再由b²=a²-c²解出b的值即可得出橢圓的方程；
（II）由題意可直線AB的方程為，再由弦長公式用引入的參數m表示出弦長AB，再用m表示出點C到直線AB的距離，由三角形的面積公式將三角形的面積表示成m的函數，由基本不等式判斷出面積最大時的m的值，即可求得直線AB的方程
解答：解：（Ⅰ）由橢圓的定義知．
解得 a²=6，所以b²=a²-c²=2．
所以橢圓M的方程為．…（4分）
（Ⅱ）由題意設直線AB的方程為，
由得．
因為直線AB與橢圓M交于不同的兩點A，B，且點C不在直線AB上，
所以解得-2＜m＜2，且m≠0．
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則，，，．
所以．
點到直線的距離．
于是△ABC的面積，
當且僅當，即時“=”成立．
所以時△ABC的面積最大，此時直線AB的方程為．
即為．…（13分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了弦長的求法，三角形的面積公式，基本不等式求最值，橢圓的定義，橢圓的標準方程的求法，熟練掌握相關的知識與技巧是解題的關鍵，本題考查了數形結合的思想，轉化的思想，對公式的記憶與靈活運用能力，是綜合性較強的題目