Question

設正數x，y滿足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，則x+y的取值范圍是（　　）

• A．（0，6]
• B．[6，+∞）
• C．[1+

  7

  ，+∞）
• D．（0，1+

  7

  ]

Answer 1

分析：由正數x，y滿足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，利用對數的運算性質可得x+y+3=xy，利用基本不等式可得xy≤(

x+y

2

)2，即x+y+3≤

(x+y)2

4

．當且僅當x=y＞0時取等號．利用一元二次不等式的解法解出即可．

解答：解：由正數x，y滿足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，∴x+y+3=xy，
而xy≤(

x+y

2

)2，則x+y+3≤

(x+y)2

4

．當且僅當x=y＞0時取等號．
令x+y=t，則t+3≤

t2

4

化為t²-4t-12≥0，解得t≥6或t≤-2．
∵t＞0，∴取t≥6．
故選B．

點評：熟練掌握對數的運算性質、基本不等式的性質、一元二次不等式的解法是解題的關鍵．