Question

在下列各題中，判斷A是B的什么條件，并說明理由.

(1)A:|p|≥2,p∈R,B：方程x²+px+p+3=0有實根；

(2)A：圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切，B：c²=(a²+b²)r^2.

Answer 1

解：(1)當|p|≥2時，例如p=3,則方程x²+3x+6=0無實根，而方程x²+px+p+3=0有實根，必有p≤-2或p≥6，可推出|p|≥2,故A是B的必要不充分條件.

(2)若圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切，圓心到直線ax+by+c=0的距離等于r,即r=,所以c²=(a²+b²)r²;反過來，若c²=(a²+b²)r²,則成立，說明x²+y²=r²的圓心(0,0)到直線ax+by+c=0的距離等于r,即圓x²+y²=r²與直線ax+by+c=0相切，故A是B的充分必要條件.

點評：對于涉及充分必要條件判斷的問題，必須以準確、完整理解充分、必要條件的概念為基礎，有些問題需轉化為等價命題后才容易判斷.