Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．

(1)求證：AB₁⊥面A₁BD；

(2)求二面角A－A₁D－B的正弦值；

 

Answer 1

解答：解法一：

(1)取中點，連結．

為正三角形，．

正三棱柱中，

平面平面，

平面．--------------------------------------2分

連結，

在正方形中，分別為

的中點，

，----------------------------------------------4分

．在正方形中，，

平面．----------------------------------------6分

(2)設與交于點，在平面中，作于，連結，

由(Ⅰ)得平面．，

為二面角的平面角．----------------------8分

在中，由等面積法可求得，又，

．

所以二面角的正弦大小-------------------------12分

解法二：

(1)取中點，連結．為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．---------------------------------------2分

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向

建立空間直角坐標系，------------------------------------------3分

則，，，，，

，，．

，，

，．

平面．------------------------------------------6分

(2)設平面的法向量為

，．

 

，，

令得為平面的一個法向量．--------------9分

由(1)知平面，為平面的法向量．

，．

二面角的正弦大小為--------------------------12分