Question

13．對函數$f（x）=\frac{ax+1}{x-1}$（其中a為實數，x≠1），給出下列命題；
①當a=1時，f（x）在定義域上為單調遞減函數；
②對任意a∈R，f（x）都不是奇函數；
③當a=1時，f（x）為偶函數；
④關于x的方程f（x）=0最多有一個實數根，
其中正確命題的序號為②④，（把所有正確的命題序號寫入橫線）

Answer 1

分析 ①，當a=1時，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，是由y=$\frac{2}{x}$向右，向上平移一個單位得到的，不是單調函數．
②，用分離常數法轉化，f（x）=$\frac{1+a}{x-1}$，易得其圖象關于（1，a）對稱，圖象不關于原點對稱；
③，當a=1時，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，易得其圖象關于（1，1）對稱，不是偶函數；
④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一個實數根，故正確；

解答 解：對于①，當a=1時，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，是由y=$\frac{2}{x}$向右，向上平移一個單位得到的，不是單調函數，∴不正確．
對于②，用分離常數法轉化，f（x）=$\frac{1+a}{x-1}$，易得其圖象關于（1，a）對稱，若為是奇函數，則圖象關于原點對稱，∴正確；
對于③，當a=1時，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，易得其圖象關于（1，1）對稱，不是偶函數，∴不正確；
對于④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一個實數根，故正確；
故答案為：②④

點評 本題考查了命題的真假判定，涉及到f（x）=$\frac{ax+b}{cx+d}$型函數的性質，屬于基礎題．