Question

求二項式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展開式中：
（1）常數項；
（2）有幾個有理項；
（3）有幾個整式項．

Answer 1

分析：（1）先求出展開式的通項公式，令x的冪指數等于零求出r的值，即可求得常數項．
（2）在展開式的通項公式中，令x的冪指數為整數，可得r為6的倍數，求出r的值，可得有理項．
（3）在展開式的通項公式中，令x的冪指數 5-

5

6

r為非負整數，得r的值，可得整式項．

解答：解：展開式的通項為：T_r+1=(-1)r

C

r 15

(

3	x

)15-r(

2

x

)r=(-1)r2r

C

r 15

x

30-5r

6

，
（1）設T_r+1項為常數項，則

30-5r

6

=0，解得r=6，即常數項為T₇ =2⁶

C

6 15

．
（2）設T_r+1項為有理項，則

30-5r

6

=5-

5

6

r為整數，∴r為6的倍數，
     又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三個數，故共有3個有理項．
（3）5-

5

6

r為非負整數，得r=0或6，∴有兩個整式項．

點評：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．