Question

11．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x+2\;\;x≤0\\{x^2}+2x+2\;\;\;\;x＞0\end{array}\right.$，若不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a-1，a]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 畫出f（x）的圖象，由圖象可知函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，則原不等式轉化為2x＞a在[a-1，a]上恒成立，解得即可．

解答  解：畫出f（x）的圖象，如圖所示，
由圖象可知函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，
∵不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a-1，a]上恒成立，
∴x+a＞2a-x在[a-1，a]上恒成立；
即2x＞a在[a-1，a]上恒成立，
故2（a-1）＞a，
解得，a＞2，
故答案為：（2，+∞）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性和不等式恒成立的問題，關鍵是說明函數(shù)在R上為增函數(shù)，屬于中檔題．