Question

如圖，已知橢圓C：6x² + 10y² = 15m²（m > 0），經(jīng)過橢圓C的右焦點F且斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點.

 （Ⅰ）是否存在k，使對任意m > 0，總有成立？若存在，求出所有k的值；

 （Ⅱ）若，求實數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓C：

直線AB：y＝k（x－m）,                                                                          ，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0 

設A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝ 

則x_m＝         

若存在k,使為ON的中點，∴

∴，

即N點坐標為．  

由N點在橢圓上，則 

即5k⁴－2k²－3＝0．∴k²＝1或k²＝－（舍）．

故存在k＝±1使    

   （Ⅱ）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）

＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k²m²

＝（1＋k²）? 

由得

即k²－15≤－20k²－12,k²≤且k≠0