Question

(2009湖北卷理) （本小題滿分14分）

過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。            

（Ⅰ）當時，求證：⊥；

（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解析:

解  依題意，可設直線MN的方程為，

則有

由    ，消去x可得                   

從而有                                             ①

于是                           ②

又由，可得         ③

（Ⅰ）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線

此時 ①可得

證法1：

      

證法2：

                   

(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有

                   

將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立                  

證法2：如圖2，連接,則由可得

,所以直線經過原點O，

同理可證直線也經過原點O

又設則