Question

已知正方形ABCD，M是DC的中點，由

AM

=m

AB

+n

AC

，確定m，n的值，計算定積分

∫

nπ mπ

cosxdx=

1

．

Answer 1

分析：通過作圖把向量

AM

寫成向量

AB

與

AC

的線性表示，結(jié)合

AM

=m

AB

+n

AC

可以求得m和n的值，然后運用微積分基本定理求解定積分

∫

nπ mπ

cosxdx．

解答：解：如圖，

由

AM

=

1

2

(

AD

+

AC

)=

1

2

(

AC

-

AB

+

AC

)
=-

1

2

AB

+

AC

，
又由

AM

=m

AB

+n

AC

，所以m=-

1

2

，n=1，
則

∫

nπ mπ

cosxdx

=∫

π - 1 2 π

cosxdx=sin

x|

π - 1 2 π

=sinπ-sin（-

π

2

）=1．
故答案為1．

點評：本題考查了微積分基本定理，考查了平面向量基本定理，解答此題的關鍵是根據(jù)圖形求出m和n的值，此題屬中檔題．