Question

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）設點為直線上的點，求直線的方程；

(Ⅲ) 當點在直線上移動時，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3)

【解析】

試題分析： (1)利用點到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯立，借助韋達定理將進行轉化處理，通過參數的消減得到函數關系式是解題的關鍵，然后利用二次函數求最值，需注意變量的范圍.

試題解析：（1）依題意，解得（負根舍去）  （2分）

拋物線的方程為； （4分）

（2）設點,，由,即得. 

∴拋物線在點處的切線的方程為，即.        （5分）

因為在切線上且所以，

從而同理，，     （6分）

不妨取，所以，    （7分）

又，∴直線 的方程為               （8分）

（3）依據（2）由 得，                    （9分）

于是，                   （10分）

所以

又，所以，  （11分）

從而                                         （12分）

考點：拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關系.