Question

已知A（1，0），B（4，0），動點T（x，y）滿足，設(shè)動點T的軌跡是曲線C，直線l：y=kx+1與曲線C交于P，Q兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）若，求實數(shù)k的值；
（3）過點（0，1）作直線l₁與l垂直，且直線l₁與曲線C交于M，N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)D（x，y）為曲線C上任一點，由動點T（x，y）滿足，利用兩點間距離公式能求出曲線C的方程．
（2）因為，所以，∠POQ=120°，由此利用圓心到直線l：kx-y+1=0的距離能求出k．
（3）當k=0時，四邊形PMQN面積為4．當k≠0時，圓心到直線l：kx-y+1=0的距離，S_PMQN==2•，由此能求出四邊形PMQN面積最大值．
解答：解：（1）設(shè)D（x，y）為曲線C上任一點，
∵動點T（x，y）滿足，
∴，
化簡整理得x²+y²=4．
∴曲線C的方程為x²+y²=4．（3分）
（2）因為，
所以，∠POQ=120°，
所以圓心到直線l：kx-y+1=0的距離，
所以k=0．（6分）
（3）當k=0時，，
當k≠0時，圓心到直線l：kx-y+1=0的距離，
所以，
同理得，
∴S_PMQN==2•，
S=2≤2×=7，
當且僅當k=±1時取等號，
∴當k=±1時，S_max=7，
綜上所述，當k=±1時，四邊形PMQN面積有最大值7．
點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意向量知識、兩點間距離公式、點到直線的距離公式等知識點的合理運用．