Question

如圖所示，我校計劃在漢東中學操場北修建一個矩形花壇并在花壇內裝置兩個相同的噴水器．已知噴水器的噴水區域是半徑為5m的圓．問如何設計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

Answer 1

分析：先根據題意設花壇的長、寬分別為xm，ym，根據要求，矩形花壇應在噴水區域內，頂點應恰好位于噴水區域的邊界．依題意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0），問題轉化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值即可．

解答：解：設花壇的長、寬分別為xm，ym，根據要求，矩形花壇應在噴水區域內，頂點應恰好位于噴水區域的邊界．
依題意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0）
問題轉化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值．
∵S=xy=2•

x

2

•y≤(

x

2

)2+y2=100，
由

x

2

=y和

x2

4

+y2=100及x＞0，y＞0得：x=10

2

，y=5

2

∴S_max=100
答：花壇的長為10

2

m，寬為5

2

m，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，則符合要求．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、基本不等式等，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．