Question

【題目】已知函數若方程有四個不等的實數根，則實數的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

解法一：把方程有四個實數根，轉化為函數與圖像有四個不同的交點．分別求得當時，函數單調性與極值和當時，函數單調性與極值，作出圖象，結合圖象即可求解；

解法二：由方程等價于，轉化為與圖像有四個交點，令，分別求得當和時，函數的單調性與極值，結合圖象，即可求解．

解法一：方程有四個實數根，

等價于與圖像有四個不同的交點．

當時， 解得．

當， 單調遞增，

當時， 單調遞減，所以極大值為

當時，當時，

當時，，解得（舍正），

當時， 單調遞增，

當時， 單調遞減，所以極大值為

當時，當時，

作出函數的草圖，如圖：

①若 與不可能有四個交點；

②若 與有三個交點；

③若當與相切時，

設切點為則，即

解得，兩圖像要有四個交點，則．

綜上實數的取值范圍是，故選B．

解法二：由于，方程等價于，

即依題意與圖像有四個交點．

令，

當， 得．

當時 單調遞增，當時， 單調遞減，

當時，當時，

又當時，得，

當時， 單調遞減，

當時， 單調遞增，極小值為，

當時，當時，

所以與圖像有四個交點時 故選B．