Question

如圖，在一條筆直的高速公路MN的同旁有兩個城鎮A、B，它們與MN的距離分別是akm與8km（a＞8），A、B在MN上的射影P、Q之間距離為12km，現計劃修普通公路把這兩個城鎮與高速公路相連接，若普通公路造價為50萬元/km；而每個與高速公路連接的立交出入口修建費用為200萬元．設計部門提交了以下三種修路方案：
方案①：兩城鎮各修一條普通公路到高速公路，并各修一個立交出入口；
方案②：兩城鎮各修一條普通公路到高速公路上某一點K，并在K點修一個公共立交出入口；
方案③：從A修一條普通公路到B，再從B修一條普通公路到高速公路，也只修一個立交出入口．請你為這兩個城鎮選擇一個省錢的修路方案．

Answer 1

分析：方案①修（8+a）km普通公路和兩個立交出入口，所需資金為A₁=50（8+a）+400（萬元）；
方案②若取B關于MN的對稱點B'，連AB'與MN交于K，在K修一個出入口，則路程最短，所需資金為A₂=50

(a+8)2+122

+200（萬元）；
方案③連接AB沿ABQ修路，在Q修一個出入口，所需資金為A₃=50[

(a-8)2+122

+8]+200（萬元）；
由a＞8，比較A₁、A₂、A₃的大小，可知選擇哪種方案所需資金最少．

解答：解：方案①：共修（8+a）km普通公路和兩個立交出入口，所需資金為A₁=50（8+a）+400=50（a+16）萬元；
方案②：取B關于MN的對稱點B'，連AB'與MN交于K，在K修一個出入口，則路程最短，所需資金為：A2=50

(a+8)2+122

+200=50[

(a+8)2+144

+4]萬元；
方案③：連接AB沿ABQ修路，在Q修一個出入口，所需資金為：A3=50[

(a-8)2+122

+8]+200=50[

(a-8)2+144

+12]萬元；
由于a＞8，比較大小，有a+16＞

(a+8)2+144

+4＞

(a-8)2+144

+12；∴A₁＞A₂＞A₃，
故選擇方案③所需資金最少．

點評：本題考查了含有二次根號的函數模型的應用，二次根式比較大小時，通常用兩邊平方法消去根號，本題是中檔題．