Question

過點Q（-2，

21

） 作圓C：x²+y²=r²（r＞0）的切線，切點為D，且QD=4．
（1）求γ的值；
（2）設P是圓C上位于第一象限內的任意一點，過點P作圓C的切線l，且l交x軸于點A，交y 軸于點B，設

OM

=

OA

+

OB

，求|

OM

|的最小值（O為坐標原點）．

Answer 1

（1）圓C：x²+y²=r²（r＞0）的圓心為O（0，0），則
∵過點Q（-2，

21

） 作圓C：x²+y²=r²（r＞0）的切線，切點為D，且QD=4
∴r=OD=

QO2-QD2

=

4+21-16

=3；
（2）設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，則A（a，0），B（0，b），
∵

OM

=

OA

+

OB

，∴

OM

=（a，b），∴|

OM

|=

a2+b2

∵直線l與圓C相切，∴

|-ab|

a2+b2

=3
∴3

a2+b2

=ab≤

a2+b2

2

∴a²+b²≥36
∴|

OM

|≥6
當且僅當a=b=3

2

時，|

OM

|的最小值為6．