Question

如圖，角α 的頂點在直角坐標原點、始邊在y軸的正半軸、終邊經過點P（-3，-4）．角β 的頂點在直角坐標原點、始邊在x 軸的正半軸，終邊OQ落在第二象限，且tanβ=-2．
（1）求角α 的正弦值；　
（2）求∠POQ的余弦值．

Answer 1

解：（1）依題意，角的頂點在直角坐標原點，始邊在y軸的正半軸、終邊經過點P（-3，-4），…2
∴|OP|=5，…3
∴cos （）=-，…5
∴sinα=，即角α 的正弦值為．
（2）法一：cos∠POQ=cos（-β）…8
=cos（）cosβ-sin（）sinβ…9
又cos （）=-，sin（）=-…10
∵tanβ=-2，β在第二象限，
∴sinβ=，cosβ=-，…11
∴cos∠POQ=（-）×（-）+（-）×=-，…12
（2）法二：∵角β 的頂點在直角坐標原點、始邊在x軸的正半軸，終邊OQ落在第二象限，
且tanβ=-2，
∴可在角β 的終邊上取一點Q（-1，2）． …（8分）
∴=（-1，2），=（-3，-4），∠POQ是與的夾角． …（9分）
…（10分）
==． …（12分）
注：第（1）題以下解法給（3分），∵角α的終邊經過點P（-3，-4），∴|OP|=5，∴，即角α 的正弦值為．第（2）題根據，計算全部正確的給（6分）．
分析：（1）由題意可求得cos （）=-，從而可求得sin（α）的值；
（2）法一：利用∠POQ=（）-β，利用兩角和的余弦公式，可求得cos∠POQ=cos（-β）；
法二：由題意結合tanβ=-2，可在角β 的終邊上取一點Q（-1，2），=（-1，2），=（-3，-4），∠POQ是與的夾角，利用向量法即可求∠POQ的余弦值．
點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，著重考察誘導公式及的作用及任意角的三角函數的定義，突出三角函數的綜合應用，屬于中檔題．