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已知a，b，x，y∈R，a2+b2=4，ax+by=6，則x2+y2的最小值為
 
．
分析：根據三角函數的性質可分別設出a和b的三角函數的表達式，代入ax+by=6中，利用輔角公式整理后求得即
x2+y2
=
3
sin(α+φ)
，利用正弦函數的性質求得
x2+y2
的最小值，則x2+y2的最小值可得．
解答：解：因為a2+b2=4，可設a=2sinα，b=2cosα，
則xsinα+ycosα=3．
故
x2+y2
sin（α+φ）=3（其中tanφ=
y
x
）
即
x2+y2
=
3
sin(α+φ)
，
故
x2+y2
的最小值為3．
即x2+y2的最小值為9．
故答案為：9
點評：本題主要考查了輔角公式的運用和運用三角函數知識解決代數問題．考查了學生綜合分析問題和創造性思維能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a、b、x、y∈R+且
1
a
＞
1
b
，x＞y，求證：
x
x+a
＞
y
y+b
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a、b、x、y都是正數，且x+y=1，比較
ax+by
與x
a
+y
b
的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b，x，y均為正數，且a≠b．
（Ⅰ）求證：（
a2
x
+
b2
y
）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的條件；
（Ⅱ）求函數f（x）=
3
x2
+
9
1-3x2
（0＜x＜
1
3
）的最小值，并指出取最小值時x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（一）已知a，b，c∈R+，
①求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的結論求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求證：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的結論求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知a，b，x，y是正實數，求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，當且僅當
a
x
=
b
y
時等號成立；
（2）求函數f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值時x的值．

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同步練習冊答案
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