Question

設

a

=（1+cosα，sinα），

b

=（1-cosβ，sinβ），

c

=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），

a

與

c

的夾角為θ1，

b

與

c

夾角為θ₂，且θ1-θ2=

π

6

，求sin

α-β

4

的值．

Answer 1

分析：由已知中，

a

=(1+cosα，sinα)，

b

=(1-cosβ，sinβ)，

c

=(1，0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，由

a

與

c

的夾角為θ1，

b

與

c

夾角為θ₂，我們可利用數量積表示兩個向量的夾角公式，確定θ₁與α，θ₂與β的關系，再由θ1-θ2=

π

6

，我們易得到

α-β

2

的值，進而得到sin

α-β

4

的值．

解答：解：∵α∈(0，π)，

α

2

∈(0，

π

2

)，

C

=(1，0)
∴

a

=(1+cosα，sinα)=2cos

α

2

(cos

α

2

，sin

α

2

)，∴θ
∵β∈(π.2π)，0＜β-π＜π-π＜π-β＜0，-

π

2

＜

π-β

2

＜0

b

=(1-cosβ，sinβ)=2sin

β

2

(sin

β

2

，cos

β

2

)∴θ2=

β-π

2

∴θ1-θ2=

π

6

∴

α-β

2

=-

π

3

，sin

α-β

4

=sin(-

π

6

)=-

1

2

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，同角三角函數間的基本關系，及兩角和與差的正弦函數．其中數量積表示兩個向量的夾角公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

是解題的關鍵．