Question

12．若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，則向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow b$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$為鄰邊的四邊形對角線相等，所以是矩形，利用一邊與對角線長度為2倍關系得到所求．

解答 解：若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，則以$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$為鄰邊的四邊形OACB的對角線相等，
所以OACB是矩形，
并且OC=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|=2OA，即對角線是一邊的2倍，所以向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$的夾角為$\frac{π}{3}$，
即∠AOC=$\frac{π}{3}$，
則向量$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow a-\overrightarrow b$與$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow b$的夾角為π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
故選：D．

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則及幾何意義的運用，關鍵是由已知判斷四邊形的形狀，屬于中檔題．