Question

在一天內甲、乙、丙三臺設備是否需要維護相互之間沒有影響，且甲、乙、丙在一天內不需要維護的概率依次為0.9、0.8、0.85．則在一天內
（I）三臺設備都需要維護的概率是多少？
（II）恰有一臺設備需要維護的概率是多少？
（III）至少有一臺設備需要維護的概率是多少？

Answer 1

分析：記甲、乙、丙三臺設備在一天內不需要維護的事件分別為A，B，C，
（1）三臺設備都需要維護即A、B、C三個事件都不發生，由獨立事件同時發生的概率公式，計算可得答案；
（2）恰有一臺設備需要維護，即A、B、C三個事件有且只有一個不發生，分為三種情況，由互斥事件的概率加法公式，計算可得答案；
（3）“三臺設備都不需要維護”與“至少有一臺設備需要維護”為對立事件，先求出“三臺設備都不需要維護”即ABC同時發生的概率，進而可得答案．

解答：解：記甲、乙、丙三臺設備在一天內不需要維護的事件分別為A，B，C，
則P（A）=0.9，P（B）=0.8，P（C）=0.85．
（I）解：三臺設備都需要維護的概率
p1=P(

.

ABC

)=P(

.

A

)•P(

.

B

)•P(

.

C

)
=（1-0.9）×（1-0.8）×（1-0.85）=0.003．
答：三臺設備都需要維護的概率為0.003．
（II）解：恰有一臺設備需要維護的概率
p2=P(

.

A

•B•C)+P(A•

.

B

•C)+P(A•B•

.

C

)
=（1-0.9）×0.8×0.85+0.9×（1-0.8）×0.85+0.9×0.8×（1-0.85）
=0.329．
答：恰有一臺設備需要維護的概率為0.329．
（III）解：三臺設備都不需要維護的概率
p₃=P（ABC）=P（A）•P（B）•P（C）=0.612，
所以至少有一臺設備需要維護的概率p₄=1-p₃=0.388．
答：至少有一臺設備需要維護的概率為0.388．

點評：本題考查相互對立事件、獨立事件、對立的概率的計算，概率問題經常涉及多種關系的事件組合，解題時要分清事件之間的關系．