Question

在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2，E、G分別為PC、PA的中點．
（I）求證：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在線段AC上是否存在一點N，使PN⊥BE？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可證BC⊥平面PAB，從而證得PA⊥BC，又Rt△PAB為等腰直角三角形，故BG⊥PA，從而得PA⊥平面BCG，結論可證；
（2）以點B為坐標原點，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸建立空間直角坐標系，可求得E點，N點的坐標，從而得=（0，，1），=（x，-x，-2），由空間向量的坐標運算=0即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PB，
又AB⊥BC，AB∩BP=B，
∴BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．①
又AB=PB=2，△PAB為等腰直角三角形，G為斜邊PA的中點，
∴BG⊥PA，②又BG∩BC=B，
∴PA⊥平面BCG，PA?平面PAC，
∴平面BCG⊥平面PAC；
（Ⅱ）以點B為坐標原點，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，，1），
設存在點N∈AC，使PN⊥BE，點N的坐標設為：N（x，y，0）
則：得=（0，，1），=（x，y，-2）
由相似三角形得：，即，
∴y=2-x．
∴=（x，2-x，-2）
又PN⊥BE，
∴•=0．
∴0×x+×（2-x）+1×（-2）=0，
∴x=∈[0，2]
故存在點N∈AC，使PN⊥BE．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間中直線與直線之間的位置關系，突出考查向量法的應用，屬于中檔題．