Question

設函數f（x）的定義域為R，且f（x+2）=f（x+1）-f（x），若f（4）=-2則函數g(x)=ex+

2f(2011)

ex+1

的最小值是（　�。�

A．1

B．3

C．ln3

D．ln2

Answer 1

分析：先根據條件f（x+2）=f（x+1）-f（x）可得函數的周期性，然后將f（2011）轉化成f（4），根據基本不等式求最值的方法即可得答案．

解答：解：∵f（x+2）=f（x+1）-f（x），①
∴f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）②
將①+②得f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=f（x+3）=f（x）
∴f（2011）=f（7+334×6）=f（7）=f（4+3）=-f（4）=2
∴g(x)=ex+

2×2

ex+1

=ex+1+

4

ex+1

-1，
由基本不等式可得，g（x）≥2

(ex+1) 4 ex+1

-1=3，
當且僅當ex+1=

4

ex+1

，即x=0時，上式取到等號．
故g(x)=ex+

2f(2011)

ex+1

的最小值為：3
故選B．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數的周期性和基本不等式求最值，屬于中檔題．