Question

（2012•梅州一模）已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F₁，F₂且它們在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2），則該橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ）
• B．（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• C．（

  1

  3

  ，

  2

  5

  ）
• D．（

  2

  5

  ，1）

Answer 1

分析：可設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其離心率e₁，雙曲線的方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0），離心率為e₂，由e₁=

c

a

，e₂=

c

m

∈（1，2），由△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，結合橢圓與雙曲線的定義可求得a=m+2c，從而可求得答案．

解答：解：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其離心率為e₁，雙曲線的方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0），|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，
∴在橢圓中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c；①
同理，在該雙曲線中，|PF₁|=2m+2c；②
由①②可得a=m+2c．
∵e₂=

c

m

∈（1，2），
∴

1

2

＜

1

e2

=

m

c

＜1，
又e₁=

c

a

=

c

m+2c

，
∴

1

e1

=

m+2c

c

=

m

c

+2∈（

5

2

，3），
∴

1

3

＜e₁＜

2

5

．
故選C．

點評：本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質，考查等價轉換的思想與運算能力，考查倒數關系的靈活應用，屬于難題．