Question

1．設常數a∈R，函數f（x）=4^x-a•2^x+1+1，x∈[1，2]．
（1）當a=2時，求函數$g（x）=\frac{1}{f（x）}$的值域．
（2）若函數f（x）的最小值為0，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質求出函數f（x）的單調區間，從而求出f（x）的值域，求出g（x）的值域即可；
（2）通過討論a的范圍，結合二次函數的性質求出f（x）的最小值，求出a的值即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=（2^x）²-4•2^x+1=（2^x-2）²+3，
令2^x=t，∵x∈[1，2]，∴2^x∈[2，4]，即t∈[2，4]，
則f（t）=（t-2）²+3，t∈[2，4]，
故f（t）在[2，4]遞增，
f（t）的最小值是f（2）=3，f（t）的最大值是f（4）=7，
故g（x）的值域是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$]；
（2）函數f（x）=4^x-a•2^x+1+1=（2^x-a）²+1-a²，x∈[1，2]，
令2^x=t，∵x∈[1，2]，∴2^x∈[2，4]，即t∈[2，4]，
故f（t）=（t-a）²+1-a²，t∈[2，4]，
a≤2時，f（t）在[2，4]遞增，
f（t）的最小值是f（2）=（2-a）²+1-a²=0，
解得：a=$\frac{5}{4}$，符合題意；
2＜a＜4時，f（t）在[2，a）遞減，在（a，4]遞增，
故f（t）的最小值是f（a）=1-a²=0，
解得：a=±1，不合題意；
a≥4時，f（t）在[2，4]遞減，
f（t）的最小值是f（4）=（4-a）²+1-a²=0，
解得：a=$\frac{17}{16}$，不合題意；
綜上，a=$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查分類討論思想，以及函數的單調性、最值問題，是一道中檔題．