Question

2．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D，E分別為AC₁和BB₁的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）若F為AB中點，求三棱錐F-C₁DE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點G，連接BG和DG，推導出BEDG是平行四邊形，從而DE∥BG，由此能求出DE∥平面ABC．
（Ⅱ）三棱錐F-C₁DE的體積：${V}_{F-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{2}$${V}_{F-A{C}_{1}E}$=$\frac{1}{4}$${V}_{B-A{C}_{1}E}$，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）取AC中點G，連接BG和DG，
因為D和G分別為AC₁和AC的中點，所以DG∥CC₁，且DG=BE，
則BEDG是平行四邊形，DE∥BG，
又DE不在平面ABC內，BG在平面ABC內，
所以DE∥平面ABC．…（6分）
解：（Ⅱ）因為D為AC₁的中點，所以${V}_{F-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{2}$${V}_{F-A{C}_{1}E}$，
又F為AB中點，所以${V}_{F-A{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$${V}_{B-A{C}_{1}E}$，…（8分）
則三棱錐F-C₁DE的體積：
${V}_{F-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{2}$${V}_{F-A{C}_{1}E}$=$\frac{1}{4}$${V}_{B-A{C}_{1}E}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{8}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．