Question

（理科）已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=

a

a-1

(an-1)(a為常數且a≠0，a≠1，n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=

2Sn

an

+1，若數列{b_n}為等比數列，求a的值；
（3）在滿足（2）的條件下，記Cn=

1

1+an

+

1

1-an+1

，設數列{C_n}的前n項和為T_n，求證：Tn＞2n-

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件中數列的前n項和與項的遞推關系，通過仿寫得到另一個等式，兩個式子相減得到數列的項間的遞推關系，利用等差數列的通項公式求出數列{a_n}的通項公式．
（2）將（1）中求出的項代入已知等式得到b_n，求出數列{b_n}的前三項，利用等比數列前三項成等比數列，列出方程求出a的值，將a的值代入通項檢驗．
（3）求出通項C_n，利用放縮法將通項放縮得到一個等比數列，利用等比數列的前n項和公式求出前n項和，不等式得證．

解答：解：（1）由（a-1）S_n=aa_n-a    ①
當n≥2時，（a-1）S_n-1=aa_n-1-a     ②
由①-②得n≥2時，（a-1）a_n=aa_n-aa_n-1即a_n=aa_n-1
又a₁=a≠0
∴數列{a_n}是以a為首項，a為公比的等比數列
∴a_n=aⁿ
（2）bn=

2Sn

an

+1=

2a

1-a

(

1

a

)n+

3a-1

a-1

b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

又b₂²=b₁•b₃得（3a+2）²=3（3a²+2a+2）解得a=

1

3

又a=

1

3

時，bn=3n顯然為等比數列
故a=

1

3

（3）由（2）得Cn=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=2-

2(3n-1)

(3n+1-1)(3n+1)

又

2(3n-1)

(3n+1-1)(3n+1)

＜

2(3n-1)

(3n+1-3)(3n+1)

=

2 3

3n+1

＜

2 3

3n

∴

n

i=1

 

2(3i-1)

(3i+1-1)(3i+1)

＜ 

n

i=1

2 3

3i

=

2 3 × 1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

＜

1

3

∴Tn＞2n-

1

3

點評：已知數列的和與項的遞推關系求通項時，一般利用仿寫作差的方法將遞推關系轉化為項間的遞推關系求出通項；解決一個數列是等差數列、等比數列求參數的范圍，一般利用前三項列出等式求出參數，再代入通項檢驗．