Question

已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍,并求出該零點(diǎn).

 

Answer 1

m=-2時(shí),f(x)有唯一零點(diǎn),該零點(diǎn)為0

【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

即方程(2x)2+m·2x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+1=0,

當(dāng)Δ=0時(shí),即m2-4=0,

∴m=2或m=-2.

又m=-2時(shí),t=1,m=2時(shí),t=-1(不合題意,舍去),

∴2x=1,x=0符合題意.

當(dāng)Δ>0時(shí),即m>2或m<-2時(shí),

t2+mt+1=0有兩正或兩負(fù)根,

即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒有零點(diǎn),

∴這種情況不符合題意.

綜上可知:m=-2時(shí),f(x)有唯一零點(diǎn),該零點(diǎn)為0.