Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），長軸兩端點A、B，短軸上端頂點為M，點O為坐標原點，F為橢圓的右焦點，且

AF

•

FB

=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知c，進而根據

AF

•

FB

=1求得a，進而利用a和c求得b，故可得橢圓的方程；
（2）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，設出P，Q的坐標，利用點M，F的坐標求得直線PQ的斜率，設出直線l的方程，與橢圓方程聯立，由韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用

MP

•

FQ

=0求得m，即可得到直線的方程．．

解答：解：（1）由題意知c=1，
又

AF

•

FB

=1，
∴（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，∴a²=2
故橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，則
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1，
于是設直線l為y=x+m，與橢圓方程聯立，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0
∵

MP

•

FQ

=x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0
由韋達定理得2•

2m2-2

3

-

4m

3

（m-1）+m²-m=0
解得m=-

4

3

或m=1（舍）
經檢驗m=-

4

3

符合條件，故直線l方程為y=x-

4

3

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了學生綜合運用基礎知識解決問題的能力．