Question

 （本小題10分）已知函數．

   （1）試討論的單調性；

   （2）如果當時，，求實數的取值范圍；

   （3）記函數，若在區間上不單調, 求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）①若，則，所以在上單調遞增

②若，則由，得，且當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減；

（2） ；（3）   .

 

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。解決不等式的恒成立問題，和函數的單調性的逆向運用的綜合試題。

（1）首先求解導數，根據的分子為含有參數的二次函數，那么結合二次不等式進行分情況討論得到單調區間。

（2）利用當時，，結合上一問的單調性，確定最值，解得a的范圍。

（3）利用等價轉化思想在區間上不單調，然后分離變量求解參數的取值范圍。

解：（1）的定義域為，

                     ……2分

①若，則，所以在上單調遞增

②若，則由，得，且當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減；                                                ……4分

（2）由（1）知：

  ①若時，在上單調遞增，所以，不合；

②若時， 在上單調遞增，在上單調遞減；所以，又，不合；

③若時， 在上單調遞減；所以，

 綜上所述，                                              …………7分

（3）

   

    在區間上不單調

    變量分離得， 

，求得的值域為      ……10分