Question

若關于x的方程lg（ax）=2lg（x+3）有兩個不等實根，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：由于a出現在真數位置，故我們可以對a分大于0，等于0，小于0三種情況進行討論，然后利用對數函數的運算性質，將問題轉化為整式方程根的個數問題，結合韋達定理，即可得到結論．

解答：解：若a=0，則lg（ax）無意義，此時方程lg（ax）=2lg（x+3）無實根；
若a＞0，則方程lg（ax）=2lg（x+3）有兩個不等實根，即
ax=（x+3）²有兩個不等正根，
則

6-a＜0 (6-a)2-36＞0

，
解得：a＞12
若a＜0，則方程lg（ax）=2lg（x+3）有兩個不等實根，即
ax=（x+3）²有兩個不等負根，
則

6-a＞0 (6-a)2-36＞0

，
解得：a＜0
綜上滿足條件的實數a的范圍a＜0，或a＞12

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中利用對數函數的運算性質，將問題轉化為整式方程根的個數問題，是解答本題的關鍵．