Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2．
（1）當a=-1時，求f（x）的單調區間；
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，當a=-1時，f^′（x）=lnx+2，令f^′（x）=lnx+2＞0，得函數的單調遞增區間是(

1

e2

，+∞)，令f^′（x）=lnx+2＜0，得函數的單調遞減區間是(0，

1

e2

)
（2）把f（x）≥g（x）恒成立轉化為對一切x∈（0，+∞），a≤lnx+x+

2

x

恒成立，構造函數F(x)=lnx+x+

2

x

，研究F（x）的最小值；
（3）要證不等式在一個區間上恒成立，結合（1）把問題進行等價變形，研究函數f（x）的最小值和函數G（x）的最大值進行比較即可．

解答：解：（1）函數的定義域是（0，+∞）
f′(x)=lnx+x×

1

x

-a=lnx+1-a
當a=-1時，f^′（x）=lnx+2
令f^′（x）=lnx+2＞0，得x＞

1

e2

令f^′（x）=lnx+2＜0，得0＜x＜

1

e2

∴函數的單調遞增區間是(

1

e2

，+∞)
函數的單調遞減區間是(0，

1

e2

)
（2）∵對一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
∴對一切x∈（0，+∞），xlnx-ax≥-x²-2恒成立．
即對一切x∈（0，+∞），a≤lnx+x+

2

x

恒成立．
令F(x)=lnx+x+

2

x

∵F′(x)=

1

x

+1-

2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

∴當0＜x＜1時，F^′（x）＜0，函數遞減，當x＞1時，F^′（x）＞0，函數遞增．
∴F（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（1）=3
∴a≤3
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．
等價于證明：對一切x∈（0，+∞），都有xlnx+x＞

x

ex

-

2

e

成立．
由（1）知，當a=-1時f（x）=xlnx+x，f(x)min=f(

1

e2

)=-

1

e2

令G(x)=

x

ex

-

2

e

，G′(x)=

ex-xex

e2x

=

1-x

ex

當x∈（0，1）時，G^′（x）＞0，函數G（x）遞增，當x∈（1，+∞）時，G^′（x）＜0，函數G（x）遞減．f（x）_min＞G（x）_max
∴當x=1時，函數G（x）取到極大值，也是最大值．
∴G(x)max=G(1)=-

1

e

∵-

1

e

＜-

1

e2

∴f（x）_min＞G（x）_max
∴對一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點評：本題主要考查了用導數研究函數的單調性和最大值，恒成立問題中用到了轉化的數學思想．