Question

已知兩實數x，y滿足0≤x≤2，1≤y≤3．
（1）若x，y∈N，求使不等式2x-y+2＞0成立的概率；
（2）若x，y∈R，求使不等式2x-y+2＞0不成立的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，利用列舉法列出試驗發生包含的事件數，列舉出不等式2x-y+2＞0要滿足的事件數的結果，再利用概率公式計算即得．
（2）利用幾何概型的計算概率的方法解決本題，關鍵要弄準所求的隨機事件發生的區域的面積和事件總體的區域面積，通過相除的方法完成本題的解答．

解答：解：（Ⅰ）設“使不等式2x-y+2＞0成立”為事件A                   （1分）
因為x，y∈N，（x，y）可有（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9種情況．．（3分）
事件A有（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7種可能．                   （4分）
∴P(A)=

7

9

      （5分）
所以使不等式2x-y+2＞0成立的概率為

7

9

；                                  （6分）
（Ⅱ）設“使不等式2x-y+2＞0不成立”也即“使不等式2x-y+2≤0成立”為事件B，
因為x∈[0，2]，y∈[1，3]，
所以（x，y）對應的區域邊長為2的正方形（如圖），面積為Ω=4                       （8分）
2x-y+2≤0，對應的區域是如圖陰影部分．
設面積為s=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

（10分）P(B)=

s

Ω

=

1 4

4

=

1

16

．                                                            （11分）
故使不等式2x-y+2＞0不成立的概率為

1

16

                                （12分）

點評：本題主要考查幾何概型中的面積類型和古典概型，兩者最明顯的區別是古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的．