Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．
（1）證明：直線A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的長；
（3）求經過A₁，C₁，B，D四點的球的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接D₁C，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，可證四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）設A₁A=h，已知幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為，利用等體積法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，進行求解．
（3）連接D₁B，設D₁B的中點為O，連OA₁，OC₁，OD，利用公式S_球=4π×（OD₁）²，進行求解．
解答：解：（1）證明：法一：如圖，連接D₁C，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC．
∴四邊形A₁BCD₁是平行四邊形．
∴A₁B∥D₁C．
∵A₁B?平面CDD₁C₁，D₁C?平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．
∵A₁B?平面A₁AB，A₁B?平面CDD₁C₁．
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．

（2）設A₁A=h，∵幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為，
∴VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁=，
即S_ABCD×h-×S△A₁B₁C₁×h=，
即2×2×h-××2×2×h=，解得h=4．
∴A₁A的長為4．

（3）如圖，連接D₁B，設D₁B的中點為O，連OA₁，OC₁，OD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，∴A₁D₁⊥平面A₁AB．
∵A₁B?平面A₁AB，∴A₁D₁⊥A₁B．
∴OA₁=D₁B．同理OD=OC₁=D₁B．
∴OA₁=OD=OC₁=OB．
∴經過A₁，C₁，B，D四點的球的球心為點O．
∵D₁B²=A₁D₁²+A₁A²+AB²=2²+4²+2²=24．
∴S_球=4π×（OD₁）²=4π×（）²=π×D₁B²=24π．
故經過A₁，C₁，B，D四點的球的表面積為24π．
點評：本題主要考查空間線面的位置關系，空間角的計算等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力，同時考查學生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力，考查數形結合思想．此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．