Question

如圖，在橢圓C：中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，△PF₁F₂的重心為G，內(nèi)心為I．
（1）求證：IG∥F₁F₂；
（2）已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F₂與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM，AN的斜率k₁，k₂滿足，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證IG∥F₁F₂，因?yàn)镕₁，F(xiàn)2在x軸上，只需證明I，G的縱坐標(biāo)相等即可，利用重心的坐標(biāo)公式求出G點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再借助三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，利用面積相等求出I的縱坐標(biāo)，比較大小即可．
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求出x₁+x₂，x₁x₂．代入k₁+k₂中，化簡(jiǎn)即可求出k的值，得到直線l的方程．
解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）（y＞0），而G為△PF₁F₂
的重心，故而I為△PF₁F₂的內(nèi)心．
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r
于是，
又a=2，c=1，y＞0
則，從而I點(diǎn)縱坐標(biāo)為
從而IG∥F₁F₂•
（2）若直線l斜率不存在，顯然k₁+k₂=0不合題意．
若直線l的斜率存在，過(guò)F₂（1，O）的設(shè)直線方程為y=k（x-1），直線和橢圓交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）將y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中得到：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
由韋達(dá)定理可知：
又=
而
從而
即k=2
故所求直線MN方程為：y=2（x-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，注意韋達(dá)定理的應(yīng)用．