Question

（本小題滿分14分）
已知函數.
(1)若函數f(x)在上為增函數，求實數a的取值范圍；
(2)當a=1時，求f(x)在上的最大值和最小值；(注)
(3)當a=1時，求證：對大于1的任意正整數n，均有.

Answer 1

解：(1)由已知得
依題意得：在恒成立，
在恒成立，即在恒成立，
所以，得
經檢驗，當時，函數f(x)在上為增函數
(2)當a=1時
若，則，若，則，故x=1是函數f(x)在區間上的惟一的極小值點，也就是最小值點，
所以當時，f(x)_min=f(1)=0.
又，

，即，
即函數f(x)在區間上最大值是；
綜上所述，函數f(x)在區間的最大值是1-ln2，最小值是0
(3)當a=1時，由(1)知，函數在上為增函數，
當n>1時，令，則x>1，故f(x)>f(1)=0
即，即
故
相加得
而
即對于大于1的任意正整數n，

略