Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大小；
（2）求證：MN⊥平面PCD；
（3）當AB的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的可能范圍．

Answer 1

（1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD．
故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角．
在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°．…（3分）
（2）如圖，取PD中點E，連接AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點，
∴EN∥

1

2

CD∥

1

2

AB∴AMNE是平行四邊形∴MN∥AE．
在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線．∴AE⊥PD．
由PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，可推出CD⊥PD
又CD⊥AD，AD∩PD=D
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．∴MN⊥平面PCD．…（7分）
（3）∵AD∥BC，∴∠PCB為異面直線PC，AD所成的角．
由三垂線定理知PB⊥BC，設AB=x（x＞0）．∴tan∠PCB=

a2+x2

a

=

1+( x a )2

．
又∵

x

a

∈（0，∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）．
又∠PCB為銳角，∴∠PCB∈（

π

4

，

π

2

），
即異面直線PC，AD所成的角的范圍為（

π

4

，

π

2

）．…（12分）