Question

已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1，P為雙曲線C上的任意一點．
（1）寫出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程；
（2）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線C的方程

x2

4

-y²=1即可寫出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程；
（2）設P（x₁，y₁）是雙曲線上任意一點，求得點P（x₁，y₁）到兩條漸近線的距離計算即可．

解答：解：（1）依題意，雙曲線的兩焦點F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0．
（2）設P（x₁，y₁）是雙曲線上任意一點，該點P（x₁，y₁）到兩條漸近線的距離分別是

|x1-2y1|

5

和

|x1+2y1|

5

，
∵P（x₁，y₁）為雙曲線C上的任意一點，
∴x12-4y12=4，
∴它們的乘積是

|x1-2y1|

5

•

|x1+2y1|

5

=

x12-4y12

5

=

4

5

．
∴點P到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個常數．

點評：本題考查雙曲線標準方程與的簡單性質，考查點到直線間的距離公式的應用，屬于中檔題．