Question

已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，點(diǎn)C在直線l上．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)過定點(diǎn)F，法向量的直線與（1）中的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)且點(diǎn)A在x軸的上方，判斷∠ACB能否為鈍角并說明理由．進(jìn)一步研究∠ABC為鈍角時點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的定義一動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，M的軌跡為拋物線，可知M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)F的坐標(biāo)求出p的值，即可確定出拋物線的方程；
（2）根據(jù)已知的法向量得到直線AB方程的斜率，再由F的坐標(biāo)即可寫出直線AB的方程，與（1）求出的拋物線方程聯(lián)立，求出x與y的值，確定出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出h和，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出兩向量的數(shù)量積，變形后得到其數(shù)量積大于等于0，故∠ACB不可能為鈍角；表示出過點(diǎn)B與直線AB的直線，令x=-1求出此時y的值，則y小于求出的值即可得到∠ABC為鈍角時點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)閯狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，
所以M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，
則軌跡方程為y²=4x；（4分）
（2）由題意，直線AB的方程為4x-3y-4=0（5分）
故A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，
解得A（4，4），，
設(shè)C（-1，y），則，，（8分）
由，
所以∠ACB不可能為鈍角．（10分）
過B垂直于直線AB的直線方程為，
令x=-1，解得，
當(dāng)∠ABC為鈍角時，點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍是：．（13分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義與應(yīng)用，及軌跡方程的求法，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行求解．本題容易忽略的情況．