Question

證明下列各不等式：

(1)≥2(a、b∈R⁺)；

(2)≤－2(a與b異號)；

(3)tanθ+cotθ≥2(θ為銳角)；

(4)已知x、y均為正數且2x+6y=1，求證≥8+4.

Answer 1

證明：(1)∵a、b均為正數，

∴與都為正數.

∴≥2，

即≥2，當a=b時，等號成立.

(2)∵a與b異號，∴與都是負數.

∴(－)+(－)≥2=2.

∴≤－2.

當a=－b時，等號成立.

(3)∵θ為銳角，∴tanθ與cotθ都為正數.

∴tanθ+cotθ≥2=2，

即tanθ+cotθ≥2.

當tanθ=cotθ，即θ=時，等號成立.

(4)∵x、y均為正數，且2x+6y=1，

∴≥8+2.

當時，即3y²=x²時，等號成立，

即≥8+4.

點評：在用基本不等式≥時，應注意條件a＞0，b＞0.當a、b為負數時，≤－.