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已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)
(1)證明:不論m取什么實數,直線l與圓C恒相交;
(2)求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時直線l的方程.
【答案】分析:(1)要證直線l無論m取何實數與圓C恒相交,即要證直線l橫過過圓C內一點,方法是把直線l的方程改寫成m(2x+y-7)+x+y-4=0可知,直線l一定經過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點,聯立兩條直線的方程即可求出交點A的坐標,然后利用兩點間的距離公式求出AC之間的距離d,判斷d小于半徑5,得證;
(2)根據圓的對稱性可得過點A最長的弦是直徑,最短的弦是過A垂直于直徑的弦,所以連接AC,過A作AC的垂線,此時的直線與圓C相交于B、D,弦BD為最短的弦,接下來求BD的長,根據垂徑定理可得A是BD的中點,利用(1)圓心C到BD的距離其實就是|AC|的長和圓的半徑|BC|的長,根據勾股定理可求出|BD|的長,求得|BD|的長即為最短弦的長;根據點A和點C的坐標求出直線AC的斜率,然后根據兩直線垂直時斜率乘積為-1求出直線BD的斜率,又直線BD過A(3,1),根據斜率與A點坐標即可寫出直線l的方程.
解答:解:(1)直線方程l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,可以改寫為m(2x+y-7)+x+y-4=0,所以直線必經過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點.由方程組解得即兩直線的交點為A(3,1),
又因為點A(3,1)與圓心C(1,2)的距離
所以該點在C內,故不論m取什么實數,直線l與圓C恒相交.
(2)連接AC,當直線l是AC的垂線時,此時的直線l與圓C相交于B、D.BD為直線l被圓所截得的最短弦長.此時,,所以.即最短弦長為
又直線AC的斜率,所以直線BD的斜率為2.
此時直線方程為:y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.
點評:本題考查學生會求兩直線的交點坐標,會利用點到圓心的距離與半徑的大小比較來判斷點與圓的位置關系,靈活運用圓的垂徑定理解決實際問題,掌握兩直線垂直時斜率的關系,會根據斜率與一點坐標寫出直線的方程,是一道綜合題.
練習冊系列答案
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(2)當弦AB的長為4
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時,寫出直線l的方程.

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