Question

（Ⅰ）若橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)（-2，0），（2，0）的距離之和為6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若橢圓過(guò)（2，0），離心率為

3

2

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：c=2，并且得到橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，再根據(jù)橢圓的定義得到a=3，進(jìn)而由a，b，c的關(guān)系求出b的值得到橢圓的方程．
（Ⅱ）由于橢圓的焦點(diǎn)位置未定，故需要進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（Ⅰ）∵兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），
∴橢圓的焦點(diǎn)在橫軸上，并且c=2，
∴由橢圓的定義可得：2a=6，即a=3，
∴由a，b，c的關(guān)系解得b²=3²-2²=5，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）由于離心率e=

c

a

=

3

2

，得c2=

3

4

a2，b2=a2-c2=

1

4

a2，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a=2，∴b²=1，∴所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b=2，∴a²=16，∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的定義，以及考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，此題屬于基礎(chǔ)題．