Question

已知E，F分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求證：EF⊥平面GMC．
（2）若AB=4，GC=2，求點B到平面EFG的距離．

Answer 1

解：（1）連接BD交AC于O，
∵E，F是正方形ABCD邊AD，AB的中點，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．
∵GC垂直于ABCD所在平面
EF?平面ABCD
∴EF⊥GC
∵AC∩GC=C，…（6分）
∴EF⊥平面GMC．
（2）建立空間直角坐標系C-xyz，則G（0，0，2），E（4，2，0），F（2，4，0），B（4，0，0）
∴向量=（4，2，-2），向量=（-2，2，0）
設面GEF的法向量=（x，y，z）
則•=0且•=0
即4x+2y-2z=0且-2x+2y=0
取x=1時，向量=（1，1，3）
又∵向量=（0，2，0）
則B到面GEF的距離d==…12分
分析：（1）連接BD交AC于O，由正方形的幾何特點，三角形的中位線定理，及已知中GC垂直于ABCD所在平面，我們易得到EF⊥AC，EF⊥GC，進而由線面垂直的判定定理得到EF⊥平面GMC．
（2）建立空間直角坐標系C-xyz，求了平面GEF的法向量，和平面GEF上任一點與O點連線的方向向量，如向量，代入距離公式d=，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，點到平面距離的計算，其中（1）的關鍵是證得EF⊥AC，EF⊥GC，（2）中關鍵是建立空間坐標系，利用距離公式d=進行求解．