Question

（2007•南通模擬）已知集合A={（x，y）||x|+|y|=2；x，y∈R}，B={（x，y）||xy|=a；x，y∈R}，若A∩B中的元素所對應的點恰好是一個正八邊形的八個頂點，則正數a的值為

2

2

-2

．

Answer 1

分析：去絕對值討論集合A，由A和B作出對應的圖象，找出兩圖象在第一象限內的兩個交點，結合對稱性，由正八邊形的邊長相等列式求出兩圖象在第一象限內的交點的坐標，代入|xy|=a求解a的值．

解答：解：由|x|+|y|=2，得

x+y=2 (x≥0，y≥0) x-y=2 (x≥0，y＜0) -x+y=2 (x＜0，y≥0) -x-y=2 (x＜0，y＜0)

∴集合A={（x，y）||x|+|y|=2；x，y∈R}對應的圖形如圖：

設集合A和集合B={（x，y）||xy|=a，x，y∈R}在第一象限的交點為P，Q．
不妨設P靠近x軸，P點坐標為（x，y）（x＞y＞0），
由對稱性可知，Q點的坐標為（y，x）．
∴正八邊形的邊長為PE=PF=

2

PQ，即2y=

2

（x-y） ①．
又x+y=2  ②．
聯立①②解得：x=

2

，y=2-

2

．
∴a=|

2

(2-

2

)|=2

2

-2．
故答案為：2

2

-2．

點評：本題考查了曲線與方程，訓練了絕對值的去法，考查了兩集合的交集，體現了數形結合的解題思想方法，是中檔題．