Question

如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求證；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱錐C-BGF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明AE⊥BC，再證AE⊥BF，由線面垂直的判定定理證明結論．
（2）利用F、G為邊長的中點證明FG∥AE，由線面平行的判定定理證明結論．
（3）運用等體積法，先證FG⊥平面BCF，把原來的三棱錐的底換成面BCF，則高就是FG，代入體積公式求三棱錐的體積．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．（4分）
（Ⅱ）證明：依題意可知：G是AC中點，
∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中點．（6分）
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）
（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）
∵G是AC中點，∴F是CE中點，且，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．
∴，（12分）∴（14分）
點評：本題考查線面平行與垂直的證明方法，利用等體積法求三棱錐的體積．