Question

(2007·廣東)設，是(a，b∈R，a＞0)的兩個極值點，f(x)的導函數是．

(1)如果，求證：；

(2)如果，，求b的取值范圍；

(3)如果a≥2，且，x∈(，)時，函數的最小值為h(a)，求h(a)的最大值．

Answer 1

答案：略
解析：

(1),，是方程的兩個根． 由且a＞0得 ①×(－3)＋②得4a－2b＞0． ∴ (2)由第(1)問知 由，兩式相除得 即． ①當 時，由， ∴，即． ∴，∈(0，2)． 令函數，∵x＞0，則， ∴φ(x)在(0，＋∞)上是增函數． ∴當∈(0，2)時，，即． ②當時，∴，即． ∴，∈(－2，0)． 令函數，若x＜0則同理可證φ(x)在(－∞，0)上是增函數． ∴當∈(－2，0)時，． 綜①②所述，b的取值范圍是． (3)∵的兩個根是，， ∴可設． ∴ ∴． 令，∵a≥2，∴． 由題意知時，g(x)取最小值 ∴ ∴． 令， ∴． ∴． 由題意知a=2時，h(a)取最大值且等于．