Question

已知橢圓的中心在原點，左焦點F₁（-2，0），過左焦點且垂直于長軸的弦長為

2 6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過（-3，0）點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若以線段A，B為直徑的圓過橢圓的左焦點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓方程，表示出通徑，由其長等于

2 6

3

，聯立c=2及a²=b²+c²求解a，b的值，所以橢圓的標準方程可求；
（Ⅱ）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后化為關于y的一元二次方程，由根與系數的關系得到兩交點A，B的縱坐標的和與積，代入向量數量積等于0求解答案．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
令x=-c，代入橢圓方程得，y=±

b2

a

．
所以

b2 a = 6 3 c=2

，又a²=b²+c²，解得

a= 6 b= 2

．
∴橢圓的標準方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立直線與橢圓的方程

x2 6 + y2 2 =1 x=my-3

，得（m²+3）y²-6my+3=0，
y1+y2=

6m

m2+3

，y1y2=

3

m2+3

，
由題意可知AF₁⊥BF₁，即kAF1•kBF1=-1，
∴

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=

y1y2

(my1-1)(my2-1)

=

y1y2

m2y1y2-m(y1+y2)+1

=-1
整理得：（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0．
∴

3(m2+1)

m2+3

-

6m2

m2+3

+1=0，解得m=±

3

．
代入△=36m²-12（m²+3）=24×3-36=36＞0．
所以直線l的方程為x+

3

y+3=0或x-

3

y+3=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和橢圓的關系，直線和圓錐曲線的關系問題，常采用根與系數的關系來解決，考查了學生的計算能力，屬有一定難度題目．