Question

(2005福建，21)如下圖，已知方向向量為的直線l過點(0，)和橢圓C：(a＞b＞0)的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在過點E(－2，0)的直線m交橢圓C于點M、N，滿足．若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)直線．　　　　　　　　　　　　�、� 過原點垂直l的直線方程為．　　　　　　　　　　　　　② 解①②得． ∵橢圓中心O(0，0)關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，∴． ∵直線l過橢圓焦點，∴該焦點坐標為(2，0)． ∴c=2，，． 故橢圓C的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　�、� 解法二：直線． 設原點關于直線l的對稱點為(p，q)，則 解得p=3．∵橢圓中心O(0，0)關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．∴． ∵直線l過橢圓焦點，∴該焦點坐標為(2，0)． ∴c=2，，．故橢圓C的方程為．　　　　　　　③ (2)解法一：設M(，)、N(，)． 如下圖，當直線m不垂直x軸時，直線m∶y=k(x＋2)代入③，整理得， ∴，， 點O到直線MN的距離． ∵， 即， ∴． ∴．∴， 即，整理得．故， 如下圖，當直線m垂直x軸時，也滿足． 故直線m的方程為 或． 經檢驗上述直線均滿足． 所以所求直線方程為． 解法二：設M(，)、N(，)． 當直線m不垂直x軸時，直線m∶y=k(x＋2)代入③，整理得，于是． ∵E(－2，0)是橢圓C的左焦點， ∴ ． 以下與解法一相同．

提示：

剖析：本題考查向量、橢圓及對稱等綜合知識，考查直線與橢圓的位置關系．