Question

15．若正方形ABCD的一條邊在直線y=2x-17上，另外兩個頂點在拋物線y=x²上．則該正方形面積的最小值為80．

Answer 1

分析 設C，D在拋物線上，C（x₁，x₁²），D（x₂，x₂²）．利用CD∥AB，可得k_CD=k_AB，再利用正方形ABCD可得|BC|=|CD|，即可解出，進而求出面積．

解答 解：不妨設C，D在拋物線上，C（x₁，x₁²），D（x₂，x₂²）．不妨設x₁＜x₂，
∵CD∥AB，∴k_CD=k_AB，∴化為x₁+x₂=2．①
由正方形ABCD可得|BC|=|CD|，
∴$\frac{|2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-17|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）^{2}}$，②
①②聯立解得x₁=3或9或-1或-7．
取3或9時，|BC|=4$\sqrt{5}$，∴正方形ABCD的面積S取得最小值80．
故答案為80．

點評 本題考查了正方形的性質、平行線之間的斜率關系、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．