Question

其中a＞0
（1）若f（x）在R上連續，求c
（2）若要使，則a與b應滿足哪些條件？
（3）若對于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調減函數，求b的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）：由f（x）在R上連續，可得=，從而可求c
（2）b＜0，顯然不成立，則b＞0，對所求的式子進行分子有理化，進而可求得極限為0時a，b的關系
（3）由對于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調減函數可得f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時恒成立，分離可得在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時恒成立，通過求解的最大值可求b的范圍
解答：解：（1）：因為f（x）在R上連續，所以=
∴c=1
（2）若b＜0，則顯然不成立
∵==
=
故當且僅當b＞0，且a=b²時
（3）∵對于任意的a∈[2，3]，f（x）是[0，+∞）的單調減函數
即f′（x）≤0在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時恒成立
∴
∴在x∈[0，+∞），a∈[2，3]時恒成立
因為=
∴
點評：本題主要考查了函數的連續的定義的應用，∞-∞型的極限的求解，一般的 處理方法是進行分子有理化，及函數的導數與函數的單調性的關系，屬于函數知識的綜合應用